第3章 线性系统的时域分析法

# 3-1 系统时间相应的性能指标

# 3-1-1 典型输入信号

名称	时域表达式	复域表达式
单位阶跃函数	1(t)	\frac{1}
单位斜坡函数	t	\frac{1}
单位加速度函数	$\frac{1}{2}t^2$	\frac{1}
单位脉冲函数	$\delta(t)$	1
正弦函数	$A\sin\omega t$	\frac{A\omega}
余弦函数	$A\cos\omega t$	\frac{As}

# 3-1-2 动态过程与稳态过程

# 动态过程 / 过渡过程

• 指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。

# 稳态过程

• 指系统在典型输入信号作用下，当时间 t 趋于无穷时，系统输出量的表现形式。

# 3-1-3 动态性能与稳态性能

# 稳态性能

• 稳态误差e_
  • 指时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。

# 动态性能

• 延迟时间$t_{d}$(delay)
  • 响应曲线第一次到达终值一半所需要的时间。
• 上升时间$t_{r}$(rise)
  • 响应曲线从终值 10% 上升到终值 90% 所需时间。
  • 对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。
  • 上升时间是响应速度的度量。
• 峰值时间$t_{p}$(peak)
  • 响应曲线超过其终值到达第一个峰值所需时间。
• 调节时间$t_{s}$(transient)
  • 响应曲线到达并保持在终值 ±5% 内所需最短时间。
• 超调量$\sigma\%$
  • 响应的最大偏离量 c ($t_{p}$) 与终值 c ($\infty$) 之差与终值 c ($\infty$) 之比的百分数，即

  $$\sigma\%=\frac{c(t_{p})-c(\infty)}{c(\infty)}\times100\%$$

# 3-2 一阶系统的时域分析

# 3-2-1 一阶系统的数学模型

• 微分方程

$$T\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)$$

• 传递函数

$$\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1}$$

# 3-2-2 一阶系统的单位阶跃响应

• 输入为 $r(t)=1(t)$
• 输出为 $c(t)=1-e^{-\frac{t}{T}}$
• ps：输出的求法为：

$$\begin{aligned} c(t) &= L^{-1}[C(s)]\\ &= L^{-1}[R(s)\Phi(s)]\\ &= L^{-1}\left\{L[r(t)]\Phi(s)\right\} \end{aligned}$$

• 调节时间

$$t_{s}=3T(\Delta=0.05)\\ t_{s}=4T(\Delta=0.02)$$

# 3-3 二阶系统的时域分析

# 3-3-1 二阶系统的数学模型

• 传递函数

$$\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^2+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$$

其中 $\omega_{n}$ 称为自然频率，$\zeta$ 称为阻尼比

# 3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应

重点关注欠阻尼二阶系统 ($0<\zeta<1$)
其特征方程

$$s^2+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}=0$$

有一对共轭复根

$$\begin{aligned} s_{1,2} &= -\zeta\omega_{n} \pm j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2}\\ &= -\sigma \pm j\omega_{d} \end{aligned}$$

其中

$$\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2}$$

为阻尼振荡角频率。

$$\sigma=\zeta\omega_{n}$$

$\sigma$ 为衰减系数
$cos\theta=\zeta$，$\theta$ 为阻尼角

最终解得

$$c(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_{d}t+\beta)$$

ps：阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短

# 3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析

# 上升时间

$t_{r}$
令

$$c(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_{d}t+\beta)=1$$

解得

$$t_{r}=\frac{\pi-\beta}{\omega_{d}}=\frac{\pi-\beta}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2}}$$

可知：

• 阻尼比$\zeta$ 一定时，$\omega_{n}$ 越大，系统响应速度越快。
• 阻尼振荡频率$\omega_{d}$ 一定时，阻尼比$\zeta$ 越小，上升时间越短。

# 峰值时间

$t_{p}$
令

$$c^{'}(t)=0$$

解得

$$t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}=\frac{\pi}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2}}$$

可知：

• 峰值时间等于阻尼振荡周期$\frac{2\pi}{\omega_{d}}$ 的一半。
• 阻尼比$\zeta$ 一定时，闭环极点离负实轴越远 ($\omega_{d}$ 越大)，系统峰值时间越短。

# 超调量

$\sigma\%$
(直接上结论)
解得

$$\sigma\%=e^\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%$$

可知：

• 超调量仅是阻尼比$\zeta$ 的函数，阻尼比$\zeta$ 越大，超调量越小。

# 调节时间

$t_{s}$
(直接上结论)
解得

$$t_{s}=\frac{3.5}{\zeta\omega_{n}}=\frac{3.5}{\sigma}$$

可知：

• 闭环极点离虚轴的距离越远 ($\zeta\omega_{n}$ 越大)，系统的调节时间越短。

# 延迟时间 (补充)

$t_{d}$
令

$$c(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_{d}t+\beta)=0.5$$

解得当$0<\zeta<1$ 时，近似有：

$$t_{d}=\frac{1+0.7\zeta}{\omega_{n}}$$

可知：

• 阻尼比$\zeta$ 一定时，闭环极点距坐标原点越远，系统的延迟时间越短。
• 自然频率$\omega_{n}$ 一定时，闭环极点距虚轴越近 ($\zeta\omega_{n}$ 越小)，系统的延迟时间越短。

# 3-3-5 二阶系统性能的改善

# 比例 - 微分控制

• 传递函数

$$\Phi(s)=\frac{\omega_{n}^2}{z}\frac{s+z}{s^2+2\zeta_{d}\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$$

本质上是 G (s) 从

$$\frac{\omega_{n}^{2}}{s^2+2\zeta\omega_{n}s}$$

变成了多乘一个

$$(T_{d}s+1)\frac{\omega_{n}^{2}}{s^2+2\zeta\omega_{n}s}$$

其中$z=\frac{1}{T_{d}}$，$T_{d}$ 为微分器时间常数，\zeta_{d}=\zeta+\frac{\omega_{n}}

• 开环增益

$$K=\frac{\omega_{n}}{2\zeta}$$

综上所述，比例 - 微分控制不改变系统自然频率$\omega_{n}$，但可增大系统阻尼比$\zeta_{d}$，使上升时间提前，超调减小。

# 测速反馈控制

原理是将输出值乘以一个$K_{t}s$，反馈到输入端。(P86)

• 闭环传递函数

$$\Phi(s)=\frac{\omega_{n}^2}{s^2+2\zeta_{t}\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$$

• 开环增益

$$K=\frac{\omega_{n}}{2\zeta_{t}+K_{t}\omega_{n}}$$

其中$K_{t}$ 为测速反馈系数，\zeta_{t}=\zeta+\frac{1}{2}K_{t}\omega_

综上所述，测速反馈控制也会增大系统阻尼$\zeta_{t}$，使振荡和超调减小。且速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于比例 - 微分控制。
应适当提高原系统开环增益，弥补稳态误差的损失。因为测速反馈会降低系统开环增益，以加大系统稳态误差。

# 小结

	标准系统	比例 - 微分	测速反馈
传递函数	$\frac{\omega_{n}^{2}}{s^2+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$	$\frac{\omega_{n}^2}{z}\frac{s+z}{s^2+2\zeta_{d}\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$	$\frac{\omega_{n}^2}{s^2+2\zeta_{t}\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$
$\zeta$	$\zeta$	\zeta_{d}=\zeta+\frac{\omega_{n}}	\zeta_{t}=\zeta+\frac{1}{2}K_{t}\omega_
K	K=\frac{\omega_{n}}	K=\frac{\omega_{n}}	$K=\frac{\omega_{n}}{2\zeta_{t}+K_{t}\omega_{n}}$

# 3-5 线性系统的稳定性分析

# 3-5-1 稳定性的基本概念

• 稳定性：指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。
• 线性控制系统的稳定性：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随着时间的推移逐渐衰减并趋于零 (原平衡点)，则称系统渐近稳定；反之，若在初始扰动下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。

# 3-5-2 稳定性的充分必要条件

• 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；即闭环传递函数的极点均位于 s 左半平面。
• 若闭环系统特征方程有一个及以上正实部根，表明系统不稳定。
• 若闭环系统特征方程有一个及以上零实部根，其余根均具有负实部根，则为临界稳定情况。

# 3-5-3 劳斯 - 赫尔维茨判据

已知系统的特征方程为

$$D(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_{n}=0$$

# 赫尔维茨稳定判据

若系统稳定，则

$$a_{i}>0(i=0,1,\cdots,n)$$

但若$a_{i}>0$，系统不一定稳定，需使用赫尔维茨判据进一步判断。
即还需满足赫尔维茨行列式全部为正。
即

$$D_{1}=a_{1}>0\\ D_{2}= \begin{vmatrix} a_{1} & a_{3}\\ a_{0} & a_{2}\\ \end{vmatrix}>0\\ D_{3}= \begin{vmatrix} a_{1} & a_{3} & a_{5}\\ a_{0} & a_{2} & a_{4}\\ 0 & a_{1} & a_{3}\\ \end{vmatrix}>0$$

# 劳斯稳定判据

列出劳斯表

s^	a_	a_	a_
s^	a_	a_	a_
s^	$c_{13}=\frac{a_{1}a_{2}-a_{0}a_{3}}{a_{1}}$	$c_{23}=\frac{a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5}}{a_{1}}$	$c_{33}=\frac{a_{1}a_{6}-a_{0}a_{7}}{a_{1}}$
s^	$c_{14}=\frac{c_{13}a_{3}-a_{1}c_{23}}{c_{13}}$	$c_{24}=\frac{c_{13}a_{5}-a_{1}c_{33}}{c_{13}}$	$c_{14}=\frac{c_{13}a_{7}-a_{1}c_{43}}{c_{13}}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
s^	c_{1,n+1}=a_	0	0

• 线性系统稳定的充分且必要条件为：劳斯表中第一列值均为正。
• 若第一列出现小于零的数值，则系统不稳定，且第一列符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。

特殊情况：

• 第一列某一行为 0
  比如特征方程

$$D(s)=s^3-3s+2=0$$

其劳斯表$s^2$ 那一行第一列为 0，此时需用因子 (s+a) 乘以特征方程，a 可以为任意正数，然后再对新的式子应用劳斯稳定判据。

• 出现全零行
  用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程 F (s)，并对 s 求导，用所得导数方程的系数代替全零行。辅助方程系数通常为偶数。
  若全零行处理后第一列全为正，说明系统是临界稳定的。

# 3-6 线性系统的稳态误差计算

# 3-5-1 误差与稳态误差

# 误差 E (S)

误差有两种定义方法

• 输入端定义：误差信号等于输入信号与主反馈信号之差。

$$E(S)=R(S)-H(S)C(S)$$

• 输出端定义：系统输出量的希望值与实际值之差。

$$E(S)=C_{r}(S)-C(S)$$

# 误差信号

$$e(t)=L^{-1}[E(S)]=L^{-1}[\Phi_{e}(S)R(S)]$$

其中

$$\Phi_{e}(S)=\frac{E(S)}{R(S)}=\frac{1}{1+G(S)H(S)}$$

为系统误差传递函数。

# 稳态误差

误差信号$e(t)$ 中包含瞬态分量$e_{ts}(t)$ 和稳态分量$e_{ss}(t)$。当时间$t→\infty$ 时，瞬态分量$e_{ts}(t)→0$，稳态分量$e_{ss}(\infty)$ 则被定义为系统的稳态误差。

# 终值定理求稳态误差

若$sE(s)$ 的极点均位于 s 左半平面 (包括坐标原点)，则有：

$$\begin{aligned} e_{ss} &= \lim_{s\to0}sE(s)\\ &=\lim_{s\to0}s\Phi_{e}(s)R(s)\\ &=\lim_{s\to0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)} \end{aligned}$$

注意事项：

• 只适用于四种基本模型。
• 三角函数输入单独处理。

# 3-5-2 系统类型

一般情况下，开环传递函数可表示为

$$G(s)H(s)=\frac{K\prod_{i=1}^{m}(\tau_{i}s+1)}{s^v\prod_{j=1}^{n-v}(\Tau_{j}s+1)}$$

其中$K$ 为开环增益，$v$ 为开环系统在 s 平面坐标原点上的极点重数。
$v=0$ 称为 0 型系统，$v=1$ 称为 Ⅰ 型系统，$v=1$ 称为 Ⅱ 型系统。

• 注意化简每一项一定要化简成$+1$ 的形式。

# 3-5-3 不同输入信号下的稳态误差总结

系统型别	静态	误差	系数	阶跃输入$r(t)=R\cdot1(t)$	斜坡输入$r(t)=R\cdot t$	加速度输入$r(t)=R\cdot\frac{1}{2}t^2$
v	$K_p$	$K_v$	$K_a$	位置误差$\frac{R}{1+K_{p}}$	速度误差$\frac{R}{K_{v}}$	加速度误差$\frac{R}{K_{a}}$
0	K	0	0	\frac{R}	$\infty$	$\infty$
Ⅰ	$\infty$	K	0	0	\frac{R}	$\infty$
Ⅱ	$\infty$	$\infty$	K	0	0	\frac{R}
Ⅲ	$\infty$	$\infty$	$\infty$	0	0	0

• 输入阶数大于系统型别则为$\infty$，小于则为$0$。

# 3-5-4 扰动作用下的稳态误差

# 扰动信号

$$n(t)=L^{-1}[N(S)]=L^{-1}[\frac{E(S)}{\Phi_{en}(S)}]$$

其中

$$\Phi_{en}(S)=\frac{E(S)}{N(S)}=\frac{1}{1+G(S)H(S)}$$

为系统扰动作用下误差传递函数。

# 终值定理求扰动作用下的稳态误差

$$\begin{aligned} e_{ssn} &= \lim_{s\to0}sE(s)\\ &=\lim_{s\to0}s\Phi_{en}(s)N(s)\\ &=\lim_{s\to0}\frac{sN(s)}{1+G(s)H(s)} \end{aligned}$$

# 3-5-5 减小或消除稳态误差的措施

• 1、增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益。
• 2、在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。
• 3、采用串级控制抑制内回路扰动。
• 4、采用复合控制方法。